摘要：本文简单介绍了以曲线为理论依据的塑性力学新方法【1】的基本原理，虽然新方法与经典方法相比具有不少优点，但是只有少数情况能求得解析解，大多情况还采用近似数值方法求解，基于这个原因，本文提出了新方法的有限元算法。

　　论文关键词：曲线，塑性力学新方法，有限元算法

　　
　　1.以曲线为理论依据的塑性力学新方法简介

　　
　　在塑性力学范围内，弹性力学建立的平衡方程、几何方程仍然适用，另外将应变分为弹性应变与塑性应变两个部分，且弹性应变与应力符合广义虎克定律，另一方面弹性应变与塑性应变之间总存在一定的函数关系，将上述思想用函数式表示出来，即得到弹塑性问题的统一基本方程组：

　　
　　 塑性力学新方法的有限元算法 （1）

　　
　　上式中弹性应变与塑性应变关系式塑性力学新方法的有限元算法而弹性应变与塑性应变之间的

　　
　　关系是有规律可行的，具体包括以下两个方面：

　　
　　1）简单加载情形，任意一条主应变的曲线（即弹性应变部分和塑性应变部分关系曲线）总可以由其它主应变的曲线沿弹性应变轴平移而得到（如图1）。

　　
　　塑性力学新方法的有限元算法

　　
　　图1

　　
　　2）若取简单加载情形下的一条主应变曲线有限元算法作为基准线，则任

　　
　　意应力应变状态下应变的弹性部分和塑性部分具有如下相关关系：

　　
　　 塑性力学新方法 （2）

　　
　　式中 的含义如图1所示，式（2）考虑的是应变的绝对值。

　　
　　2.塑性力学新方法的有限元算法

　　
　　有限元方法求解塑性力学问题，其步骤与弹性力学问题介绍的步骤相同，为了便于分析，先考虑一个三角形单元的平面应力问题。

　　
　　1）以单元结点位移作为基本未知量。设单元结点编码为、、，由于考虑的是平面问题，则每个结点在单元平面上有两个位移分量，整个单元将有六个结点位移分量，用列阵表示如下：

　　
　　 塑性力学新方法 （3）

　　
　　式中 、表示结点在轴和轴方向的位移。

　　
　　选取适当的形函数和位移模式，使单元内任一点的位移均可表示成单元结点位移的函数，

　　
　　 塑性力学新方法 （4）

　　
　　2）单元力学特性

　　
　　利用平面问题几何关系，可得到单元应变分量与结点位移的关系式

　　
　　 塑性力学新方法 （5）

　　
　　得到应变后，再利用广义虎克定律，可求得单元应力。

　　
　　3）单元刚度方程

　　
　　根据虚位移原理，建立表征单元结点位移与结点力关系的刚度方程

　　
　　 塑性力学新方法的有限元算法 （6）

　　
　　单元刚度矩阵的表达式为

　　
　　 有限元算法 （7）

　　
　　式（7）在塑性问题中是非线性的，采用割线刚度法求解。具体步骤如下：

　　
　　a.首先不考虑塑性变形，按弹性状态计算，记此时的应变矩阵为，单元刚

　　
　　度矩阵为，由式（6）可初步求出此时的单元结点位移记为。

　　
　　b.单元力学特性分析。由式（5）求出单元应变，这里认为单元应变包括弹性应变与塑性应变两部分。假定单元弹性应变与塑性应变之间存在如下关系：

　　
　　 塑性力学新方法的有限元算法

　　
　　可得单元弹性应变与总应变之间总存在一定函数关系，写成关系式为

　　
　　 塑性力学新方法 （8）

　　
　　则式（5）可改写成如下形式：

　　
　　 keyimg2曲线 （9）

　　
　　式中 为考虑了塑性变形的应变矩阵

　　
　　塑性力学新方法

　　
　　keyimg2曲线  塑性力学新方法 （10）

　　
　　求得后，再由式（7）求得单元刚度矩阵记为，最后由式（6）求得单元结点位移记为，完成一次循环运算。

　　
　　c.重复上一步的循环运算，直到keyimg2曲线，停止运算，得到较为满意的近似解。

　　
　　3.结语

　　
　　以曲线为基础的塑性力学新方法求解条理清楚，过程简洁，可以求解经典理论难以得到解析解的问题，具有较明显的优越性。本文以新方法为指导思想，提出了新方法的有限元算法，经算例验证，具有一定的可行性。

　　参考文献

　　1 李铀，白世伟，李锶等。以e-p 曲线为基础的塑性力学新方法的物理解释及应用实例[J].岩土工程学报。 2001，23（6）：704～707